这本1958年的“财富”杂志文章向约翰·纳什和他的数学介绍了世界

2017-09-24 01:01:28

上周,诺贝尔经济学奖获得者,电影“美丽心灵”的主题约翰·纳什在一次车祸中丧生早在1958年,“财富”科学作家乔治·阿姆·博姆就是第一批撰写关于博弈论和其他发展的记者之一 “新数学”他的文章“抽象的新用法”以纳什的简短生物为特色,上周被广泛引用作为提及当时崛起的数学家的第一篇文章之一,早在世人知道他的斗争之前精神疾病从来没有这么多人将这种抽象数学应用到如此多的问题中为了满足工业,技术和其他科学的需求,数学家不得不发明新的数学分支并扩展旧的数学分支他们建立了一个人们在这一主题的经典分支中训练的新思想的上层结构几乎不会被认为是数学应用数学家一直在成功地与世界进行斗争好奇的是,当纯粹的数学家似乎几乎与现实世界失去联系时,数学一直是抽象的,但正如“财富”杂志上个月报道的那样,纯粹的数学家正在将抽象推向新的极限对于他们来说数学是他们追求的艺术为了艺术的缘故,他们并不关心它是否会有任何实际用途然而数学的抽象性使其有用通过将其概念应用于世俗问题,数学家可以经常去掉模糊的细节并揭示简单的模式天体力学例如,使天文学家能够在过去或未来的任何时间计算行星的位置,并预测彗星的来来往往现在,这个古老而深奥的数学分支突然变得非常实用,可用于计算地球卫星的轨道数学难题可能有重要的应用数学家仍在试图寻找一般规则计算粒子从矩形网的一个角移动到另一个角而不穿过自己的路径的方式的数量当他们解决这个看似简单的问题时,他们将能够告诉化学家关于长链分子的积累的一些事情聚合物对实际问题感兴趣的数学家已经学会解决许多超出数学范围的问题,仅在十年或两年前他们已经开发出新的统计方法来控制高速工业大规模生产的质量他们奠定了基础商业用于安排生产和分销的运营研究技术他们创造了一个精心设计的“信息”理论,使通信工程师能够准确地评估电话,无线电和电视电路他们通过博弈论解决了人类行为的复杂性适用于军事和商业战略他们已经分析了设计工厂生产线和超音速飞机等复杂系统的自动控制现在他们已经准备好解决太空旅行的许多问题,从导航和导航到导弹超越地球大气层的飞行动力学数学家几乎没有开始将注意力转向生物和社会科学,但这些曾经纯粹描述性的科学已经开始具有新的数学精确性生物学家开始将信息理论应用于继承社会学家正在使用复杂的现代统计来控制他们的抽样数学与生命科学之间的联系得到加强通过生物识别,心理测量学和计量经济学等一整套应用数学专业的出现现在,他们拥有电子计算机,数学家正在解决他们几年前不敢解决的问题他们可以在几分钟之内得到一个回答以前会有的要求经过几个月甚至几年的计算在设计计算机并对其进行编程以执行指令时,数学家不得不开发新技术虽然计算机对纯数学理论的贡献很少,但它们已被用来测试数字之间的某些关系现在看来有可能计算机有一天会发现并证明一个全新的数学定理美国前所未有的增长 数学,纯粹和应用,导致了优秀数学家的严重短缺提供这种需求是一个棘手的问题数学家需要比以往更多的训练;然而,他们无法在学校度过更多年,因为数学家在年轻时通常最具创造性从九年级开始,全新的数学教育概念可能是摆脱这种困境的唯一途径应用数学家必须成为一个有创造力的人应用数学不仅仅是解决问题它的主要目标是找到适用于各种问题的新数学方法例如,相同的微分方程可以用原子核和无线电的传播来描述中子的散射通过电离层的波浪相同的拓扑网络可能是电路中携带电流的电线的数学模型,以及在茶会上传播谣言的流言蜚语因为应用数学与它解决的问题密不可分,所应用的数学家必须熟悉至少一个其他领域 - 例如,空气动力学,电子学或遗传学纯粹的数学家判断他的工作量很大按审美标准;应用数学家是一个实用主义者他的工作是制作现实世界的抽象数学模型,如果他们有效,他就会满意他的抽象常常是异常牵强的例如,他可能会认为太阳是一个集中在零点的质量体积,或者他可以将它视为一个完美的圆形和均匀的球体如果它导致与实验和观察相符的预测这两种模型是可以接受的这种事实态度有助于解释长期建立的概率领域的根本变化理论意大利和法国数学家在大约三个世纪前提出这个问题来分析骰子的投注几率从那以后,对数学感兴趣的哲学家一直严重关注神秘的“机会机构”的性质工作数学家,但是,不要担心机会的哲学概念他们认为概率是一种抽象的和未定义的属性 - 就像物理学家认为质量或者一样在这样做的过程中,数学家将概率论技术扩展到许多问题,这些问题显然不涉及机会因素摄影:罗伯特莫塔尔约翰纳什刚满三十岁纳什已经成为一名出色的数学家,他渴望解决这个问题最困难的问题他是少数几位在纯数学和应用数学方面都做过重要工作的年轻数学家之一在卡内基科技大学本科期间,他提出了现代博弈论的一些基本概念不久之后,他对高度做出了独创性贡献代数几何的抽象领域后来他开发了一些关于某些非线性微分方程的新定理,这些方程在纯数学和应用数学中很重要他现在是麻省理工学院的副教授,正在研究量子理论他也将数学运用到他的一个爱好中:股市预测Oswald Veblen Veblen仍然是78岁的一流数学家包括阿尔伯特·爱因斯坦和约翰·冯·诺伊曼在内的普林斯顿大学高级研究所的原始教师不同于他的叔叔托尔斯坦,这位脾气暴躁的社会学家奥斯瓦尔德·凡勃伦是温和的,但是当他想要他的方式,同事们说,他设法得到它筹集资金的天才帮助Courant,七十岁,将纽约大学的数学科学研究所建设成为国家应用数学分析的杰出中心直到1933年他领导当时世界着名的哥廷根大学应用数学系,并且他已经模拟了纽约大学中心* * *今天的概率几乎就像几何学的一个分支每个特定实验的结果被视为一个点上一个点的位置而每个实验的重复都是该点的坐标在另一个维度中结果的概率非常类似于体积的几何测量许多概率问题归结为几何a分散在许多维度空间中的点分析现代概率理论中最肥沃的主题之一是所谓的“随机游走”一个简单的例子就是赌徒的毁灭问题,其中两个人玩游戏,直到其中一个是破产者 如果一个以100美元开始而另一个以200美元开始并且他们每场玩1美元,他们的赌博进度可以作为一个点上的一个点300个单位(即美元)长点该点向右或向左跳跃一个单位,每次玩游戏时,当它到达任何一端时,一个赌徒都会被打破问题是计算游戏可能持续的时间以及每个赌徒获胜的几率数学家最近发现了一些令人惊讶的事实这样的游戏当两个玩家拥有无限的资本并且游戏可以无限期地继续下去时,领导者几乎不会像大多数人所猜测的那样经常转手在两个玩家都有相同的获胜机会的游戏中 - 例如匹配的便士 - 之后2万次播放,这是胜利者一直领先的可能性的八十八倍,因为这两个玩家平均分享了领先优势无论比赛持续多长时间,一个玩家从一开始就领导的可能性大于那个任何给定次数的领导已经转手随机走动抽象适用于许多物理情况一些明显涉及机会 - 例如,气体扩散,汽车交通流量,谣言传播,流行病进展技术甚至应用表明,在最后一次冰期之后,携带种子的鸟类必须帮助重新建立不列颠群岛北部的橡树林但是一些现代随机游走问题与机会没有明显联系在一个复杂的电网中例如,如果端子上的电压是固定的,则可以通过将整个电路视为一种二维赌徒破产游戏来计算电路内各点的电压数学统计是概率论的主要分支,与概率论本身一样彻底改变经典统计数据主要作为一个法庭,警告其用户不要提出有风险的结论它所作出的判断总是有些模棱两可,例如:“确定药物A至少是药物B效力的两倍是98%”但是如果药物A实际上只有一半效力呢经典统计承认了这种可能性,但它没有评估后果现代统计学家已经进一步采用了一套新的思想集合作为决策理论“我们现在试图提供必须在不确定条件下采取的行动的指南, “解释哥伦比亚的赫伯特罗宾斯”的目的是尽量减少由于我们对真实自然状态的无知造成的损失事实上,从博弈论的角度来看,统计推断成为玩游戏的最佳策略,称为科学“新方法通过以下示例说明慈善家提供翻转硬币一次并让你称之为“头”或“尾巴”如果你猜对了,他会付给你100美元你注意到硬币是如此严重弯曲和受到重创以至于它更多可能会落在另一边而不是另一边但你不能决定硬币有利于哪一方慈善家愿意让你试用硬币测试硬币,但他坚持要你付给他1美元或者每个实验在你下定决心之前,你应该购买多少次试翻答案,当然,取决于试验如何结果如果硬币在前五次抬头,你可能会得出结论,它几乎肯定偏向于头部但是如果你得到三个头和两个尾巴,你肯定会要求进一步实验行业经常面临这样的问题一个新产品的制造商在决定是否将其投放市场之前对其进行测试他测试的越多,他就越确定他的决定是正确的但是测试要花钱,而且他们需要时间现在,现代统计数据可以帮助他平衡风险与收益之间的关系,并决定继续测试需要多长时间它还可以帮助他设计和实施实验涉及大量多维几何的新方法可以指出如何改进产品和工业流程A统计学家通常可以应用这些方法来调整一个完整的工业工厂而不会中断生产(例如参见第124页的图表)经典统计数据已经是另一种方式最新发展之一是“非参数推理”,这是一种根据尺寸,寿命,美元价值或任何其他毕业品质对事物进行分类的结论 重要的是统计样本的大小和该样本中任何特定对象的排名实际上没有必要测量任何对象,只要它们可以进行比较可以说,例如,如果样本由473个对象组成,99%肯定只有1%的此类对象会比样本中的最大对象大对象是什么 - 人,汽车,玉米穗,或者从帽子中抽出的数字如果不是很大,你会考虑小,智能,巡航速度或任何其他相关质量,这个陈述仍然是正确的在实际应用中,非参数推理被用来测试批量的灯泡通过燃烧例如,制造商可以得出结论,批次中90%的所有灯泡几乎肯定(100个中的99个机会)比第二个灯泡在测试期间烧坏的寿命更长应用数学最近最令人着迷的发展之一是博弈论,即概率论的另一个分支从数学的角度来看,博弈论并不是特别深奥;实际上,许多数学家认为它很浅但它令人兴奋,因为它给数学家提供了一种人类行为的分析方法博弈论基本上是对人或者诸如军队,公司或桥梁伙伴关系等人群之间竞争的数学描述理论上,球员们知道比赛的所有可能结果,并对每个结果对他们的价值有一个明确的认识他们知道他们所有可能的策略和他们的对手的策略他们总是表现得“理性”(虽然数学家不确定只是如何定义“理性”行为)显然,博弈论代表了高度的抽象;人们永远不会如此有目的和充分知情,即使在作为国际象棋游戏的竞争中受到限制然而人类的抽象是有效的,因为博弈论在分析商业和军事情况时证明是有用的当它在二十年代首次开发时主要由法国的Emile Borel和德国的John von Neumann主持,博弈论仅限于最简单的竞争形式早在1944年就有关该主题的权威书籍(冯·诺依曼和普林斯顿经济学家奥斯卡·摩根斯坦的博弈和经济行为理论)从一卡通扑克的形式中吸取了许多说明性的例子,在两个人之间进行了有限的投注现在,然而,两人,零和游戏的策略(其中一个玩家获得了对手的失败)已经相当彻底分析并且游戏理论家已经推进了更复杂的竞争类型,这些竞争通常更加真实早期的博弈理论假设每个计划都有很多不足之处应该设计用于对抗一个全智的对手,他们会发现战略并采用他自己最有效的反击战术在军事方面,这相当于假设敌人的情报部门是无懈可击的游戏理论解决方案是随机混合策略 - 其中每次移动都是偶然决定的,比如掷骰子,这样敌人就不可能预料到它(因为美国武装部队教导情报人员估计敌人的能力而非他的意图的原因大致相同)许多数学家认为这种方法是不切实际的谨慎最近游戏理论家已经制定了策略,可以利用粗心或不熟练的对手,而不会冒任何事情,如果他碰巧精巧地玩,数学分析最难的游戏是那些玩家是不严格地相互竞争一个例子是劳资谈判;双方都失败,除非他们达成协议另一个复杂的因素是球员之间的勾结 - 例如,两个买家之间的协议不相互竞价另一个是在“游戏”框架之外支付金钱,就像一家大公司持有通过补贴他的分销商分析这种复杂情况的最大问题是找到一种分配利润的数学程序,以便“理性”的参与者得到满足兰德公司的劳埃德·沙普利开发了一个公式外部仲裁员必须决定付款 该公式告诉他如何给予球员适当的议价能力,并最大化总支付申请Shapley的“仲裁价值”存在明显的实际困难首先,支付或价值,每个玩家收到的很少用美元来衡量很少因此,如果玩家要对他们想要从游戏中获得的东西撒谎以及他们对游戏的价值有多大,那么仲裁员很难决定正确的分布在现代统计学中对决策理论的重视,对复杂人类情境的实际应用并未取得显着成功主要的麻烦似乎是没有客观的数学方法来形成“理性”行为或衡量某一特定结果的价值然而,至少,博弈论让数学家对分析人类事务感兴趣并具有刺激性让更多的经济学家和社会科学家学习更高的数学博弈论可能是更具洞察力的数学方法的先行者,有朝一日可以帮助人们更准确地解释他对人类行为所观察到的东西数学的主干,无论是纯粹的还是应用的,都是一种被称为“分析”的技术集合分析过去几乎与微分和积分微积分的应用同义然而,现代分析家使用几乎所有其他数学分支的定理和技术,包括拓扑学,数论和抽象代数在过去的二三十年里,数学分析师用微分方程取得了快速进展,微分方程几乎是涉及任何变化的物理现象的数学模型今天,数学家知道在计算机上求解多种微分方程的相对简单的例程但是仍然没有直接的方法f或解决大多数非线性微分方程 - 通常在发生大的或突然的变化时出现的方程式典型的是描述当飞机通过声速加速时产生的空气动力学冲击波的方程式俄罗斯数学家将大量精力集中在理论上非线性微分方程的一个结果是俄罗斯人现在在自动控制研究方面领先于世界其他地区,这可能是导弹成功的主要原因在电子计算机的分析领域或许他们对应用数学做出了最重要的贡献仍然需要一位熟练的数学家来建立一个微分方程并解释解决方案但是在最后阶段他通常可以将工作简化为数字化程序 - 可能是冗长乏味的,但是很简单计算机在几分钟或最多几个小时内完成计算机的事实现有技术可以用数学方法分析以前用各种经验法则处理的大量问题,而且不太准确计算机也对纯数学产生了一些影响面对指导计算机做什么以及如何做的问题,数学家重新打开了一个旧的和部分休眠的领域:布尔代数这个数学分支将形式逻辑的规则简化为代数形式它的两个公理与普通高中代数的公理有着惊人的不同在布尔代数a + a = a中,并且a×a = a当a被解释为语句时,原因变得清晰,加号为“或”,乘法符号为“和”因此,例如,加法公理可以通过以下方式说明:“(这礼服是红色的)或(这件衣服是红色的)意味着(这件衣服是红色的)“数值分析,近似研究的主要部分,是数学家为计算机编程问题复活的另一个领域有仍然需要对可能通过四舍五入的数字错误进行大量纯粹和基础的数学研究计算机特别容易犯这样的错误,因为他们可以操作的数字的大小是有限的一个很长的数字,它必须在最后丢弃数字并使用近似值 虽然近似可能非常接近,但如果在问题的后期将数字乘以较大的因子,则误差可能会变得很大通常可以安全地假设在长算术示例中舍入趋于均匀例如,如果你将4423简单地视为44,而将51761视为518,那么你可能不会出错但是,如果认为四舍五入不可能造成严重的错误累积,那么它绝对是错误的很明显,如果所有的数字都在499年结束了在某些更精细的计算类型中存在更微妙的陷阱在一些典型的计算机问题中,涉及用于求解联立方程的矩阵,Cal Tech的John Todd已经构造了看似简单的数值问题计算机根本无法应付在某些情况下,计算机得到的结果非常不准确;在其他情况下它根本无法产生任何答案对于数值分析师来说,找到预测这种麻烦然后避免它的方法是一个挑战除了数论领域之外,计算机对纯数学的贡献很少结果尚无定论,但有趣的是,加利福尼亚大学的DH Lehmer有一台计算机绘制了一份小于46,000,000的所有素数的列表(素数是一个只能被自身整除的数字或者一个例如2, 3,17,61,10,21)对该清单的研究证实,根据理论上约一个世纪前制定的“法律”,至少高达46,000,000的素数在其他整数中分布法律规定,小于任何给定大数的素数X大约等于X除以X的自然对数(实际上,近似值一直偏低)Lehmer的列表也倾向于证实关于dis的推测孪生素数的分配 - 即,连续奇数的对,两者都是素数,如29和31,或101和103小于X的孪生素数大致等于X除以X的自然对数的平方德克萨斯大学的Lehmer和HS Vandiver也使用计算机来测试一个着名的定理,即全世界的数学家仍然试图证明或反驳300年前,法国数学家费马特表示不可能满足以下等式如果n大于2,则用全部数字(零除外)代替所有字母:a + bn = cn Lehmerand Vandiver试图找到一个例外如果可能的话,该定理将被反驳幸运的是他们没有必须测试每一个可以想象的数字组合;尝试用所有素数代替n就足够了还有进一步的捷径例如,数n不能除以任何一组所谓的“伯努利数”,否则它就不能满足等式(伯努利数是不规则第一个是1/6;第三个是1/30;第十一个,第69个,第730个;第十三个,第7/6个;第十七个,第44667/798年;第十九个,第1,222,277 / 2,310个数字后面的数字是巨大的) Lehmer和Vandiver已经测试了所有素数高达4,000的Fermat定理,但它们似乎已经走到了尽头此阶段的伯努利数字接近10,000位数,即使是快速的计算机需要整整一个小时来测试每个n当然,机器未能找到异常这一事实并不能证明费马定理,尽管它可能增加了一定程度的保证定理是正确的但是计算机有可能产生数学证明艾伦兰德公司的纽厄尔和赫伯特阿斯卡内基科技公司制作了一套指令程序,告诉高速计算机如何计算出Principia Mathematica中包含的数学逻辑中的一些基本定理的证明,这是Alfred North Whitehead和Bertrand Russell The Newell的三卷论文 Simon程序基于启发式思维 - 一种创造性的人类思维来简化复杂问题的预感和类比方法计算机提供了一些基本的公理,它存储了之前已经证明的所有定理当它被告知时证明了一个不熟悉的定理,它首先试图用它已经知道的定理进行类比和比较 在许多情况下,计算机会在几分钟内产生逻辑证据;在其他情况下,它根本无法产生任何证据可以想象,可以用计算机编程来解决定理,使用算法方法来解决所有可能性的确定的,有条不紊的程序但是这样的程序可能需要数年才能使最快的计算机尽管大多数数学家都嘲笑这个想法,但Newell和Simon确信启发式编程很快就能让计算机做出真正有创造性的数学工作他们猜测计算机将在十年内发现并证明一个人类从未想过的重要数学定理数学家但计算机不会让数学家失去工作恰恰相反,计算机开辟了许多新的数学应用,数学家的工业就业机会在过去五年中增加了一倍以上250人中有四分之一的人今年获得数学博士学位的是进入工业领域 - 主要是飞机,电子ics,通信和石油公司1946年,只有大约九分之一的博士在工业领域工作虽然大多数公司更喜欢在物理或工程方面具有相当背景的数学家,但许多公司也渴望雇用专注于纯数学的人支付一名年轻的数学家,拥有新的博士学位,现在平均每年飞机行业接近1万美元,大约是1950年的两倍(大约是今天大学的起薪两倍)尽管如此,大量的工业数学都是由物理学家完成的毕业后转向数学的工程师也有人拥有学士和硕士学位的空间,特别是在编程计算机上进行计算不同的公司以不同的方式使用数学家有些人将他们与工程师,物理学家,冶金学家和工程师,物理学家和冶金学家一起纳入研究团队其他科学家但是越来越多的人建立了特殊的数学g roups,开展他们自己的研究项目,并为其他科学部门进行严格限制的解决问题最古老,最杰出的工业数学系于1930年由贝尔电话实验室成立它由六到八名专业数学家开始并成长直到战争结束后十年才增加一倍今天该部门拥有大约三十名专业数学家,其中一半拥有数学博士学位,其余拥有其他科学博士学位该系为数学做出了突出贡献值得注意的是信息理论,克劳德·香农在战争期间和战争后发展起来作为语言及其交流的数学模型对各种数学家的需求正在迅速超越美国教育系统的能力数学课程的膨胀入学已经开始对大学和大学征税普林斯顿的数学系例如,数学专业多年来只有五到十名,但去年初级班的十九名成员被选为数学专业为了使事情进一步复杂化,优秀的大学和大学系不再要求他们的教授教授十二到十五个小时了因此,教师也可以进行研究,大多数学校的平均课堂时间减少到9个小时,而一些最好的大学的课堂时间减少到不到6个然而,严肃的数学学生现在需要比以往更多的培训如果他想要在工业或顶尖大学中,他必须拥有博士学位;如果他想在研究方面表现出色,他应该有一到两年的博士后研究*在现代数学中有很多东西需要掌握,但令人惊讶的是,与传统上高中和大多数传授的数学相比,它相对容易学习大学,尽管它的抽象性和复杂性一个明显有帮助的变化显然有助于提前开始教授重要的现代概念和技术现在,数学的教学方式,达特茅斯的John G Kemeny抱怨说,“这是你可以学习十四的唯一科目多年[即通过二年级微积分]没有学习自1800年以来所做的任何事情“一些大学现在正在使他们的数学课程现代化方面取得进展 几个不再需要特殊的三角学课程“我们真的不需要训练每个人都成为一名测量员,”一位系主任解释说,在Kemeny的领导下,达特茅斯在过去五年几乎完全修改了本科课程现在,事实上,有三个单独的数学课程:一个是数学专业,另一个是工程师和其他必须接受数学训练的人,第三个是想要将数学作为其文化背景的文科学生的课程非常受欢迎百分之九十达特茅斯学生至少学习一个学期的数学,超过60%完成一年(数学是大多数人的选修)Kemeny和两个同事为他们的课程写了一个一本名为“有限数学概论”的着名教科书在1957年1月出版后的一年内,它被大约100所大学使用,在某些情况下j专为社会科学专业设计的数学课程和几所纽约高中已经为特殊学生的特殊部分采用了这本书教授更多数学并更快地教授它的运动已经过滤到中学水平高考理事会通过其数学委员会制定了一个中学数学课程现代化的计划该委员会的执行主任Albert E Meder表示,该委员会的主要目的是让学生了解数学的真正含义现代发展的一些观点他指出,代数不再是“大量记忆化的技巧,而是对数学结构的研究;几何不再是一个按照精确顺序排列的定理体,可以在不理解的情况下进行记忆“大学理事会得到了大多数主要数学家的支持今年夏天,耶鲁大学的二十名高中数学教师与其中二十人会面,写下大纲部分基于大学理事会建议的示例教科书这个由耶鲁大学EG Begle领导的小组计划在明年写出实际的书籍,以便教师和商业出版商知道数学家如何认为数学应该在高中教授或许美国数学教育中最激进的一步是由伊利诺伊大学的实验中学在那里,在大学数学系的一名成员的指导下,教育学教授马克斯·贝伯曼推出了一个全新的数学课程用算术和代数的非正式公理方法,并通过方面的方面进行概率论,集合论,数论,复数,数学归纳和解析几何这种方法反映了现代数学的严谨性,抽象性和普遍性为了给一些新概念腾出空间,伯伯曼和他的顾问不得不减少数量花在研究代数表达等技术上的时间到目前为止,实验对学生来说非常刺激 ​​- 当然,部分原因是因为课程是一个实验,在1957年的高考中,第一组是学生完成伊利诺伊州四年课程取得了全国一些最高分,而其他十二所高中现在已经实验性地采用了伊利诺伊州的数学课程,它不太可能被广泛使用一段时间原因是大多数高中教师必须接受全面的再培训才能教授卡内基基金会的支持,伊利诺伊大学已开始培养高科技来自许多州的教师教授新课程多年来,一位想成为老师的人很难学习他需要什么数学来教授任何严肃的高中课程斯坦福大学的George Polya教授解释说:“数学系一所大学]为他们提供了他们无法咀嚼的坚韧牛排,以及教育学院里没有肉的无聊的汤“美国国家科学基金会帮助了50多所大学和大学建立了高中教师可以在夏天学习数学的机构或者甚至整整一学年无论有多少数学家,总是需要更多的一流思想来创造新的数学应用数学和纯数学都是如此 因为应用数学现在提出足够的智力挑战,甚至吸引那些为自己创造数学而自豪的学术人士一位年轻的助理教授,最近提供了16,000美元的行业,正在认真考虑放弃他的大学生涯他解释说:“我认为应用数学中的问题会给我提供与更多基础研究一样多的刺激“需要全新的数学领域来应对其他科学和人类事务中的问题交通工程师,例如,仍然缺乏分析湍流的数学方法四车道公路交通;可能需要几年时间才能将精确的数学推理应用于三维空中交通生物学家除了统计数据之外几乎没有使用任何数学,但现在他们中的一些人正在认真思考应用拓扑这个数学分支,它处理广义形状和无视大小,可能是描述活细胞大小和形状巨大变化的最合适方式神经生理学家正在寻找一种新的代数来代表思维过程,这种过程绝不是随机的,但并非完全有条理的仍有一些戏弄数学家的非常简单的问题他们还没有发现,例如,对以下问题的一般解决方案:给出N折叠的路线图,你可以用多少种方式重新折叠它当这个问题得到解决时,会有另一个难题,